Kolmogorov az 1940-es években a Lomonoszov Egyetemen tartott előadásai alapján tanítványával, Sz. Fominnal közösen írta meg A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei c. kötetét. Egyedülállónak tekinthető, hogy a mai napig a legmegbecsültebb felsőfokú tankönyvként tartják számon világszerte.

A szerzők lépésről lépésre vezetik be a hallgatót a kulcsfogalmak megértésébe a halmazelméleti alapoktól a Fredholm-féle integrálegyenletekig. Jelentőségét nem a tárgyalt téma újszerűsége, hanem az a kiváló stílus és elmélyült látásmód adja, amellyel Kolmogorov a jövőbeni tendenciákat, mintegy előre látva, készíti fel az olvasót a tárgykör megértésére.

A tartalom: halmazelméleti alapok, metrikus és topologikus terek, normál és topologikus vektorterek, lineáris funkcionálok és lineáris operátorok, mérték, mérhető függvények, integrál, Lebesgue-féle határozatlan integrál, a differenciálszámítás Lebesgue-féle elmélete, integrálható függvények tere, trigonometrikus sorok, Fourier-transzformált, lineáris integrálegyenletek, differenciálszámítás vektorterekben.

Andrej Nyikolajevics Kolmogorov (1903–1987) a 20. századi matematika legjelentősebb matematikusainak egyike, aki a matematika igen sok különböző területét művelte, a valószínűségszámítás elméleti megalapozása is a nevéhez fűződik.